제 1공리, {P(φ)∧□∀x[φ(x)→ψ(x)]}→P(ψ)
을 정리해보자,쌍 화살표는 이렇게 바꿀수 잇다.
A↔B ≡ (A→B)^(B→A)즉, P(￢φ) ↔ ￢P(φ)
이는 φ가 긍정적일시 ￢φ는 부정적이고.￢φ가 부정적이면 φ는 긍정적임을 뜻한다.
( ￢가 NOT을 의미함으로 이는 항상 참.)
즉, 긍정적인 어떤 한 성질을 가정할시,
그 반대성질은 부정적이란 공리이다.이를 논리학에선 “배중률”이라고 한다.
제 2공리, {P(φ)∧□∀x[φ(x)→ψ(x)]}→P(ψ)
난감하다. 기호를 말로 풀어쓴다면,”P(φ): φ는 긍정적이다.
^: 그리고
□: 필연적으로
∀x: 모든 x에 대하여
φ(x)→: x가 φ를 가지면
즉, ψ(x): x가 ψ를 가진다.” 라면,ψ는 긍정적이다 라고 풀어쓸수 있을것이다.
이는φ는 긍정적이고,
필연적으로,모든 x에 대하여 φ를 가지는 x가 ψ를 가지는 x로 환원된다면,
ψ도 역시 긍정적이다. 라는 말이다.
예를 들어,
x=사람, φ=정직하다, ψ=행복하다고 가정하자
그렇다면 “정직하다는 성질은 긍정적 성질이고,
필연적으로 모든 정직한 사람이 행복하다면,
행복하다는 성질도 긍정적 성질이다. 라는것.
즉 어떤 성질이 긍정적이면 그로인한 다른 성질도 긍정적이다.
제 1정리, p(φ)→◇∃x[φ(x)]p(φ)→
φ는 긍정적이면◇: ~이 가능하다. (우연히)
∃x: 어떤 x가 존재한다.
φ(x): x는 φ를 가진다.
즉 φ가 긍정적일시, φ를 가지는 x가 존재할 가능성이 있다.
위의 예를 따를때,정직함이 긍정적이면 정직한 사람이 존재할수 있다. 라는것이다.
(φ가 존재치 않을시, φ가 긍정적이란 명제는 거짓임.)
p(φ)→◇∃x[φ(x)]을 증명해보자.긍정적 성질, φ를 가지는 어떤것이 존재할수 있다.
긍정적 성질, φ를 가지는 어떤것이 존재할수 없다.
(가정)vacuous truth (전제가 틀리면 결론은 참으로 간주한다는 공리)
위의 가정에 의해 φ(x)집합은 공집합이고 이 전제로부터어떤 결론을 이끌어내던지 그 결론은 참이다.
그럼 φ→￢φ은 아무런 문제가 없을것이다.
대입하장! ㅎ
{P(φ)^□∀x[φ(x)→ψ(x)]} → p(ψ) (제 2공리)
(ψ에 ￢φ대입)
{P(φ)^□∀x[φ(x)→￢φ(x)]} → p(￢φ)P(φ)→p(￢φ)P(φ)^p(￢φ)이므로
φ is positive and ￢φ is positive를 동시에 인정한다.
이는 p에 관한 배중률을 인정하는 제 2공리에 의해 모순이 생기니
이 가정은 폐기한다.
즉 긍정적 성질, φ를 가지는 어떤것이 존재할수 있다는 결론을 도출한다.
제 1정의 G(x) ↔ ∀φ[P(φ)→φ(x)]G(x):
x는G(godlike [=신성])을 가진다.
↔: 정의
∀φ: 모든 φ에 대하여
P(φ)→: φ가 긍정적이면
φ(x): x는 φ를 가진다.
x는 신성을 가진다 = 모든 φ에 대하여 [φ가 긍정적이면 x는 φ를 가진다]
즉, 모든 긍정적 성질을 가지는 것을 신성이라고 하자.
(찬혁이형이 이를 지적했는데, positive property를 만족하는 x를 대상으로 삼을때,
P(φ)→◇∃x[φ(x)]가 증명되었기 떄문에
P(φ)→φ(x)은 타당성을 가지고,그려면 G에대한 정의는 타당할것.
[positive property를 선과 악이 아닌 전지전능함으로 바라볼것.])
제 3공리p(G)
=신성은 긍정적이다.
제 1정의에 따른것.
제 2정리 ◇∃xG(x)◇: ~을 할 가능성이 있다.
∃x: 어떤 x가 존재한다.G(x): x는 신성을 가진다.
신성을 가지는 x가 존재할 가능성이 있다.
◇∃xG(x)을 증명해보자.
p(φ)→◇∃xφ(x)
(φ에 G를 대입
)p(G)→◇∃x[G(x)]p(G) (제 3공리)
즉 ◇∃xG(x)이 도출된다.
제 2정의 φ ess x ↔ φ(x) ∧ ∀ψ{ψ(x) → □ ∀y[φ(y)→ψ(y)]}
φ ess x: φ는 x의 본질이다.(essence)
↔: 정의
φ(x): x는 φ이다.
∧: 그리고
∀ψ: 모든 ψ에 대하여
ψ(x) →: x가 ψ이면
□: 필연적으로
∀y: 모든 y에 대하여
φ(y)→: y가 φ를 가지면
ψ(y): y는 ψ을 가진다
즉 x의 속성 φ가 x의 모든 속성들 ψ를 이끌어 낼 때
φ를 essence라고 부르자고 정의한다는 것이다.
제 4공리 P(φ) → □ P(φ)
즉 φ가 긍정적이면 φ는 필연적으로 긍정적이다.
긍정적 성질에 대한 존재성을 ‘필연적’이라 인정하자고 약속한다
(존재의 가능성은 철학적으로 3분류로 나뉜다.
‘우연’ ‘개연’ ‘필연’으로따라서 어떤 것이 존재한다는 것은 확률적으로 우연적으로 존재하거나,
개연적으로 존재하거나, 필연적으로 존재할 수 있다.)
제 3정리G(x) → G ess x
G(x)ㅡx가 Godlike라는 속성을 만족한다
ㅡx의 속성이 Godlike이다ㅡ를 가정한다면,
G는 x의 본질이다.
즉, 신성은 본질적이다.
(만일, 신이 민주은의 형상을 하고 있다 가정할때,
신성이 아닌 민주은의 형상이 신의 본질이 될순 없다.)
제 3정리를 증명해보자.
증명을 위해 제 2정의,
φ ess x ↔ φ(x) ∧ ∀ψ{ψ(x) → □ ∀x[φ(x)→ψ(x)]}를 이용하자
제 2정의에 따르면
x의 특정 성질이 x의 본질임을 증명하기 위해선,
본질속성인 φ와 임의 속성 ψ을 전제하고
φ가 다른 모든 속성 ψ을 이끌어 냄을 증명하면 된다.
우선 본질속성 φ는 G으로 가정되어있으니 임의속성만 전제하자,
ψ로 전제한다.
그건 Gx∧ψ(x)으로 표현할수 있다. (가정 1)
이에 대해 P￢(ψ) (가정2)
Gx∧ψ(x)∧P￢(ψ) (가정1)+(가정2)
G(x) ⟺ ∀￢ψ[P(￢ψ)→￢ψ(x)] (제 1정의 P￢(ψ)대입)
이는 Gx∧ψ(x)∧￢ψ(x)이다. (모순)
즉 ￢ψ(x)가 x의 속성임을 인정하고
￢ψ(x)와 ψ(x)를 동시에 인정한다는 것이니
ψ(x)∧￢ψ(x)이라는 것이다 그러므로 모순이다.
이는 배중률에 어긋나므로
최초에 전제한 Gx ∧ ψ(x)에서G ∧ ψ(x) ∧ ￢P(ψ)을 만들었을때 모순이 생긴다는 의미로
마지막 전제인 ￢P(ψ)가 틀렸음을 의미한다.
따라서 Gx ∧ ψ(x)를 가정했을 때,
우리는 P(ψ)임을 알 수 있다.
φ ess x ⟺ φ(x) ∧ ∀ψ{ψ(x) → □ ∀x[φ(x)→ψ(x)]}
(제 2정의)우리가 증명할것은 G ess x이므로 정의 2에 G를 대입하자.
G ess x ⟺ G(x) ∧ ∀ψ{ψ(x) → □ ∀x[G(x)→ψ(x)]}G(x) ↔ ∀φ[P(φ)→φ(x) (제 1정의)(모든 긍정적 성질은 신성에 속함.)
[P(ψ) → ∀x [G(x) → ψ(x)]ψ가 긍정적임을 가정했을 때,
G로부터 연역적으로 긍정적인 ψ(x)를 이끌어 낼 수 있다.
G가 모든 긍정적 성질을 가지고 있기 때문에 G에 속하는
어느 긍정적성질 ψ는 G로부터 필연적으로 이끌어 낼 수 있다.
정의에 대해, 정의는├ p → ├ □ p이란 성질을 가진다. 즉 정리는 공리들과 정의들에게 연역적으로 이끌어졌기 때문에 필연적이다.
이를 rule of necessitation이라고 한다.
이를 위의 정리에 적용하면
□[P(ψ) → ∀x [G(x) → ψ(x)]]이다.
여기에 □ (φ → ψ) → (□ φ→ □ ψ),φ → ψ의 과정이 필연적이라면,
필연적으로 φ라면 필연적으로 ψ가 된다는 공리인
axiom of distribution을 적용하자.
이를 사용하면 □ P(ψ) → □ ∀x [G(x) → ψ(x)]이다.
그리고 아까 Gx 와 ψ(x)를 가정했을 때 □ P(ψ)를 얻었다.
그렇다면Gx ∧ ψ(x)라는 전제 안에서
□ P(ψ)는 보증되기 때문에방금 이끌어 낸 정리와 합쳐서
전제 속에서 □ ∀x [G(x) → ψ(x)]또한 존재가 필연적으로 보증된다.
G를 만족하는 x에 대해서, x의 임의의 속성(모든 속성)ψ는 positive임이 밝혀졌기 때문에
G(x)를 전제했을 때 □ P(ψ) → □ ∀x [G(x) → ψ(x)]의 식에서
P(ψ)대신 ψ(x)를 삽입해도 된다. 논리식으로는 ψ(x) → □ ∀x [G(x) → ψ(x)]}이고,
이를 x의 임의의 속성에 대해서 일반화하면∀ψ{ψ(x) → □ ∀x[G(x) → ψ(x)]}가 된다.
이는 우리가 증명해야 했던G(x) → G ess x ⟺ G(x) → ( G(x) ∧ ∀ψ{ψ(x) → □ ∀x[G(x) → ψ(x)]})와 일치한다.
즉, 제 3정리는 증명되었다.
제 3정의 E(x) ⟺ ∀φ [φ ess x → □ ∃x φ (x)]
제3정의 : 임의의 φ 에 대해서 φ가 x의 본질이면 필연적으로 φ 를 만족하는 x가 존재할 때,E(x)라고 정의하자.
‘특정 대상의 본질이 존재할 때, 본질을 만족하는 x가 필연적으로 존재함’을
E(x)라고 표기하자는것이다.
영어본에서는 E를 NE로 표기하기도 하는데
제3정의는 영어로 “Necessarily Existing”라고 불리기 때문이다.
제 5공리 P(E)E라는 개념은 그 자체로 positive property이다.
제 4정리 ∃x G(x)
필연적으로 G를 만족하는 x는 존재한다.
////즉 신은 존재한다////
일단 제1정의를 만족하는 대상 x가 있다고 하자.
즉, G(x)를 전제하자는 것이다.
G(x)를 전제하면 G(x)의 정의에 의해서
모든 positive property는 G에 속하게 된다.
또한 제5공리에 의해서 P(E)즉, being E is positive를 얻는다.
제1정의와 제5공리에 의해서
우리는 E가 positive property를 만족하기때문에
E또한 G의 한 성질임을 알 수 있다.
즉, 다시 말해서 G라는 속성을 만족하는 대상 x는 필연적으로 E라는 속성 또한 만족한다.
즉, Gx를 전제할 경우 E(x) ⟺ ∀φ [φ ess x → □ ∃x φ (x)] 또한 성립하게 된다.
다시 제3정리에 의해서 G(x) → G ess x 이다.
즉, Ex에서 x가 만족하는 본질
(φ)은 G이다.따라서 G ess x → □ ∃x G(x) 이고, G(x) → G ess x 이기 때문에 G(x) → □ ∃x G(x) 이다.
그리고 의미적으로 G(x) → □ ∃x G(x)와 ∃xG(x) → □ ∃x G(x)는 크게 차이가 없기 때문에
G(x) → □ ∃x G(x) 대신에 ∃xG(x) → □ ∃x G(x)를 써도 상관없다.
(G(x)는 ‘x가 G를 만족함’ 혹은 ‘x의 속성은 G이다’를 의미하는데
∃x G(x)는 ‘G를 만족하는 x가 존재한다’로,
G(x)를 전제하고 있기 때문에 논리기호로 ∃x G(x) → G(x)라고 쓸 수 있다.
결국, ∃xG(x) → □ ∃x G(x)를 써도 상관없다)
∃xG(x) → □ ∃x G(x)라는 사실은 공리와 정의로부터 이끌어냈기 때문에
또 다른 theorem이라고 볼 수 있다.
따라서 theorem 3를 증명할 때 쓰였던 rule of necessitation을 적용해도 무리가 없다.
rule of necessitation에 의해서□ [∃xG(x) → □ ∃x G(x)] 이다.
여기에 □ (φ → ψ) → ( ◇φ → ◇ψ)라는 정리를 적용한다
(modal logic s5 system theorem).
그렇다면, ◇∃xG(x) → ◇□ ∃x G(x) 라는 결과를 얻을 수 있다.
여기에 S5 system of modal logic의 ◇ □ φ → □ φ 라는 정리를 이용한다.
이를 이용하면 ◇□ ∃x G(x) → □ ∃x G(x) 를 만들어 볼 수 있다.
결과들을 정리하면,◇∃xG(x) → ◇□ ∃x G(x)◇□ ∃x G(x) → □ ∃x G(x) 이다.
삼단논법에 의해서◇∃xG(x) → □ ∃x G(x) 이고,
제2정리에 의해서 ◇∃xG(x)이므로
결국 modus ponens(p→q이고 p가 참이라면 q도 참이다)에 의해서
□ ∃x G(x)이다.
즉, 신은 존재한다.